トゥースィーの対円 Tusi couple

トゥースィーの対円（Tusi couple）は、大きい円の内側を小さい円が滑らずに転がるとき、小さい円の円周上の点は直線を描くというものです。これを導出してみます。

トゥースィーの対円では、大きい円の半径は小さい円の半径の 2 倍です。

$$R = 2r$$

小さい円が右端 $(R,\,0)$ から反時計回りに大きい円の内側を滑らずに『転がる』とします。

『転がる』とは、次の 2 つの運動の合成です。

並進：小円の中心 C が原点のまわりを回転する。（反時計回り）

自転：小円が自分の中心 C のまわりを回転する。（時計回り）

『転がる』とは、回転しながら（自転）、中心が移動していくこと（並進）です。並進だけでは大円の内側を滑ることになります。

小円の中心が角度 $\theta$ だけ並進したとき、大円内側に沿って移動した弧長 $S$ は

$$S = R\theta$$

滑らずに転がるためには、小円上の点が自転することにより距離 $S$ を移動するということだから

$$R\theta = r\phi$$

「滑った分だけ回して戻す」イメージです。

$R\theta = r\phi$ に $R = 2r$ を代入すると

$$2r\theta = r\phi \quad \Longrightarrow \quad \phi = 2\theta$$

つまり、小円が $\theta$ だけ並進するとき、自転角は $\phi = 2\theta$ となります。

「滑った分だけ回して戻す」— 並進で $\theta$ 進んだ分、自転で $2\theta$ 回転することになります。

小円上の点 P の座標 $(x,\,y)$ を求めるには

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}$$

C $(x_c,\,y_c)$ とする。C は半径 $(R-r)=r$ の円を描くから

$$x_c = r\cos\theta,\quad y_c = r\sin\theta$$

C に対して P は反対方向に回転するから、点 P の点 C に対する位置 $(x_{cp},\,y_{cp})$ は

$$x_{cp} = r\cos(\theta-\phi),\quad y_{cp} = r\sin(\theta-\phi)$$

$\theta$ 回って $2\theta$ 戻る → 結果として $\theta$ だけ逆向きに回るイメージ

$\phi = 2\theta$ を代入すると

$$x = r\cos\theta + r\cos(\theta-2\theta) = r\cos\theta + r\cos(-\theta)$$

$$y = r\sin\theta + r\sin(\theta-2\theta) = r\sin\theta + r\sin(-\theta)$$

$\cos(-\theta)=\cos\theta,\;\sin(-\theta)=-\sin\theta$ だから

$$x = 2r\cos\theta = R\cos\theta, \quad y = 0$$

つまり、点 P は $x$ 軸上だけを移動し、その範囲は $x=R$ から $x=-R$ である。